上海財(cái)經(jīng)大學(xué)2022年碩士學(xué)位研究生初試自命題科目考試大綱《807 高等代數(shù)》

　　《高等代數(shù)》考試是為招收數(shù)學(xué)各專(zhuān)業(yè)學(xué)生而設(shè)置的具有選拔功能的業(yè)務(wù)水平考試。它的主要目的是測(cè)試考生對(duì)高等代數(shù)各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

　　一、考試基本要求

　　要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有相應(yīng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

　　二、考試方法和考試時(shí)間

　　高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘。

　　三、考試主要內(nèi)容和考試要求

　?。ㄒ唬┒囗?xiàng)式

　　1.主要考試內(nèi)容

　　數(shù)域；一元多項(xiàng)式及其整除的概念；最大公因式；因式分解；多項(xiàng)式函數(shù)；復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；有理系數(shù)多項(xiàng)式。

　　2.考試要求

　?。?） 理解數(shù)域的概念，判別數(shù)集是否是數(shù)域。

　?。?） 理解一元多項(xiàng)式的概念，掌握多項(xiàng)式的基本運(yùn)算及運(yùn)算前后次數(shù)的關(guān)系。

　?。?） 理解整除的概念，掌握整除的一些基本性質(zhì)。

　?。?） 理解最大公因式的概念及基本結(jié)論，掌握求最大公因式的計(jì)算方法(輾轉(zhuǎn)相除法)。

　?。?） 理解并掌握不可約多項(xiàng)式的定義及其基本性質(zhì)、因式分解定理。

　?。?） 理解并掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、多項(xiàng)式根(零點(diǎn))及重根的概念。

　?。?） 理解代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解及實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理。

　?。?） 理解有理系數(shù)多項(xiàng)式與整系數(shù)多項(xiàng)式的關(guān)系；理解本原多項(xiàng)式的概念及其基本性質(zhì)。

　?。?） 掌握整系數(shù)多項(xiàng)式有有理根的必要條件及 Eisenstein 判別法。

　?。ǘ┬辛惺?/p>

　　1.主要考試內(nèi)容

　　排列與逆序的概念；n 階行列式的定義及基本性質(zhì)；行列式的展開(kāi)定理；行列式的基本計(jì)算方法；克萊姆法則；Laplace 展開(kāi)定理

　　2.考試要求

　?。?） 理解排列與逆序的概念、對(duì)換的概念與性質(zhì)。

　?。?） 理解 n 階行列式的定義，熟練運(yùn)用定義計(jì)算一些特殊行列式.；熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。

　?。?） 理解行列式的余子式與代數(shù)余子式的概念；理解行列式按一行一列展開(kāi)的公式；掌握范德蒙行列式的結(jié)論, 并由此計(jì)算一些范德蒙型行列式的值。

　?。?） 掌握行列式的基本計(jì)算方法：三角化，展開(kāi)法，遞推法，歸納法，加邊法，析因子法等。

　?。?） 掌握克萊姆法則及相關(guān)結(jié)論。

　?。?） 理解子式及其余子式、代數(shù)余子式的概念；掌握行列式乘法規(guī)則(聯(lián)系矩陣乘法的行列式)。

　　（三）矩陣

　　1.主要考試內(nèi)容

　　矩陣及其基本運(yùn)算；矩陣的逆；矩陣的初等變換與初等矩陣；矩陣的分塊。

　　2.考試要求

　?。?） 理解矩陣的概念；了解一些特殊矩陣的結(jié)構(gòu)。

　?。?） 理解逆矩陣的定義及其基本性質(zhì)、矩陣乘積的行列式的結(jié)論；

　　（3） 理解伴隨矩陣的定義及性質(zhì)；掌握逆矩陣存在的充分必要條件及用伴隨矩陣表示逆矩陣的公式。

　　（4） 掌握矩陣的初等變換定義；掌握線性方程組的矩陣描述以及高斯消元法與初等變換的關(guān)系；掌握用初等變換求逆矩陣的方法。

　?。?） 掌握矩陣的分塊表示；理解矩陣分塊的目的；掌握分塊矩陣的基本運(yùn)算以及塊初等變換在分塊矩陣上的應(yīng)用。

　?。ㄋ模┚€性方程組

　　1.主要考試內(nèi)容

　　向量的線性相關(guān)性；矩陣的秩；線性方程組

　　2.考試要求

　　（1） 理解n維向量的概念。

　　（2） 理解向量組的線性組合、向量（組）的線性表出以及向量組等價(jià)等概念；

　　理解向量的線性表出與線性方程組是否有解的等價(jià)關(guān)系. 理解向量組的線性相關(guān)性概念、向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組是否有非零解的等價(jià)關(guān)系。

　?。?） 理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與秩的概念，并熟知有關(guān)結(jié)論；理解矩陣秩的概念及其與子式的關(guān)系。

　?。?） 理解秩在初等變換下的不變性，掌握用初等變換法求矩陣的秩以及向量組的秩. 熟知矩陣秩的有關(guān)結(jié)論。

　?。?） 理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)與齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念; 掌握用初等變換方法，求齊次與非齊次線性方程組的通解（包括含參數(shù)的方程組）。

　?。ㄎ澹┚€性空間1.主要考試內(nèi)容

　　線性空間的定義；基與維數(shù)；線性子空間；線性空間的同構(gòu)；子空間的和與直和。

　　2.考試要求

　?。?） 熟知線性空間的定義及其一些簡(jiǎn)單性質(zhì); 熟知一些常見(jiàn)的線性空間。

　?。?） 理解線性空間基與維數(shù)的本質(zhì)含義；熟知一些常見(jiàn)線性空間中的基和它們的維數(shù)；理解坐標(biāo)的概念；理解過(guò)渡矩陣的概念，熟知基變換公式與坐標(biāo)變換的公式。

　　（3） 理解線性子空間的概念以及關(guān)于線性運(yùn)算的封閉性的本質(zhì)；熟知生成子空間的概念及有關(guān)性質(zhì)；理解子空間的交與和的概念，熟知維數(shù)公式；理解子空間直和的概念，熟知子空間構(gòu)成直和的各充分必要條件。

　?。?） 了解映射、1-1 對(duì)應(yīng)以及逆映射的概念；理解線性空間同構(gòu)的概念；理解n維線性空間到Pn的同構(gòu)映射與同構(gòu)關(guān)系。

　　（六）線性變換1.主要考試內(nèi)容

　　線性變換及基本運(yùn)算；線性變換的矩陣；特征值與特征向量；矩陣的對(duì)角化；不變子空間；最小多項(xiàng)式

　　2.考試要求

　　（1） 理解線性變換的概念, 熟知一些線性變換的基本性質(zhì)；熟知線性變換的線性運(yùn)算與乘法運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律。

　?。?） 理解線性變換的矩陣的概念, 理解線性變換與矩陣的 1-1 對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。能夠熟練寫(xiě)出線性變換在基下的矩陣；理解線性變換在不同基下的矩陣間的相似性關(guān)系。

　?。?） 理解線性變換和矩陣的特征值特征向量的概念, 理解線性變換與對(duì)應(yīng)矩陣的特征值特征向量的關(guān)系；掌握特征值與特征向量的計(jì)算方法；熟知特征值特征向量的基本性質(zhì)，理解矩陣的相似性在特征值問(wèn)題上的不變性；了解

　　Hamilton-Caylay 定理的結(jié)論。

　?。?） 熟知矩陣相似于對(duì)角矩陣的條件及對(duì)應(yīng)于線性變換的結(jié)論；理解特征子空間的概念及特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)的概念。

　?。?） 理解線性變換（矩陣）值域與核的概念, 理解有關(guān)性質(zhì)與結(jié)論；理解線性變換（矩陣）不變子空間的概念，了解有關(guān)性質(zhì)與結(jié)論。

　?。?） 理解和掌握矩陣的最小多項(xiàng)式的概念及其基本性質(zhì).

　?。ㄆ撸﹥?nèi)積空間

　　1.主要考試內(nèi)容內(nèi)積空間的概念；標(biāo)準(zhǔn)正交基；標(biāo)準(zhǔn)正交基；同構(gòu)；正交變換；實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；向量到子空間的距離及最小二乘法

　　2.考試要求

　?。?） 理解向量?jī)?nèi)積的定義及其基本性質(zhì)。理解向量長(zhǎng)度和距離的概念；熟知一些常見(jiàn)的內(nèi)積空間。

　　（2） 理解向量正交的概念、（標(biāo)準(zhǔn)）正交基的概念；掌握向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化過(guò)程。

　　（3） 理解正交矩陣的概念及其性質(zhì)、正交變換的概念及其性質(zhì)。

　?。?） 理解正交補(bǔ)空間的概念；熟知正交補(bǔ)空間的性質(zhì)；了解正交投影的概念。

　?。?） 了解對(duì)稱變換的概念；熟知實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值特征向量的性質(zhì)；掌握對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣的計(jì)算方法。

　　（6） 了解向量到子空間的距離及最小二乘法。

　?。ò耍┒涡?/p>

　　1.主要考試內(nèi)容

　　二次型的概念；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；二次型的規(guī)范形；正定性

　　2.考試要求

　?。?） 掌握二次型及其矩陣表示；理解二次型的非退化線性替換與矩陣合同的聯(lián)系。

　?。?） 理解二次型標(biāo)準(zhǔn)形的概念及其結(jié)論；掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的基本方法：配方法，初等變換法，正交變換法。

　?。?） 理解二次型的慣性定理及規(guī)范形的唯一性。

　?。?） 理解正（半）定二次型與正（半）定矩陣等概念；掌握正定矩陣的幾個(gè)充分必要條件及判別方法。

　?。ň牛?-- 矩陣

　　1.主要考試內(nèi)容

　　?-矩陣的概念；?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；三個(gè)因子；Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形；矩陣的有

　　理標(biāo)準(zhǔn)形

　　2.考試要求

　?。?）理解?-矩陣的定義以及有關(guān)基本性質(zhì).；理解?-矩陣可逆的條件。

　?。?）掌握?-矩陣的初等變換（初等矩陣）以及等價(jià)的概念；理解?-矩陣的

　　標(biāo)準(zhǔn)形定義，掌握化?-矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。（3）理解?-矩陣的行列式因子、不變因子的概念以及相互關(guān)系；理解行列式因子、不變因子的不變性性質(zhì)；理解特征矩陣的的概念以及初等因子概念；理解上述三種因子的相互關(guān)系，并掌握計(jì)算這些因子的方法；理解矩陣相似的條件。

　?。?） 理解矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形概念以及相關(guān)結(jié)論；掌握 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的求法。

　?。?） 理解矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的概念及有關(guān)結(jié)論.